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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Do 28.10.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich hab mal wieder eine Frage zu der mir leider noch überhaupt nichts eingefallen ist.
Sei [mm]||.||[/mm] eine gegebene (Vektor-)Norm der [mm]\IR^n[/mm]. Wir definieren die von ihr induzierte Matrixnorm für Matrizen [mm] A\in\IR^{n \times n}[/mm] durch [mm] ||A|| \equiv sup_{x \in \IR^n:||x|| = 1}||Ax|| = sup_{x \in \IR^n:x \ne 0} \bruch{||Ax||}{||x||}[/mm].
a) Zeige, dass [mm]||A||[/mm] wohldefiniert ist, also eine nichtnegative reelle Zahl ergibt.
b) Zeige, dass tatsächlich eine Norm auf [mm]\IR
^{n \times n}[/mm] vorliegt.
C) Zeige, dass [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm] für alle [mm]x \in \IR^n[/mm].
d) Zeige, dass [mm]||AB|| \le ||A||*||B||[/mm] für alle [mm]A,B \in \IR^{n \times n}[/mm].
e) Die [mm]\infty-Norm[/mm] für Vektoren [mm]x \in \IR^n[/mm] ist gegeben durch [mm]||x||_\infty = max \{|x_i|:1 \le i \le n \}[/mm]. Zeige, dass für die von ihr induzierte Matrixnorm [mm]||A||_\infty[/mm] die Identität [mm]||A||_\infty = max_{1 \le i \le n} \left \{ \summe_{1 \le j \le n} |a_{ij}| \right \}[/mm] gilt.
f) Zeige, dass die Maximumnorm für Matrizen, [mm] ||A||_{max} = max \{|a_{ij}|:1 \le i,j \le n \}[/mm] von keiner Vektornorm induziert wird.
Hinweis: Finde einen Widerspruch mit Hilfe der bisher gefundenen Aussagen.
Also wie gesagt habe ich leider keinerlei Ahnung, wie ich hier an die Aufgabe heran gehen soll. Außerdem weiß ich auch nicht, was die induzierte Matrixnorm ist.
Wäre schön, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!!
Jörg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Do 28.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi jörg
mal ein paar ideen zu den aufgaben, vielleicht kannst du ja damit was anfangen.
> Sei [mm]||.||[/mm] eine gegebene (Vektor-)Norm der [mm]\IR^n[/mm]. Wir
> definieren die von ihr induzierte Matrixnorm für Matrizen
> [mm]A\in\IR^{n \times n}[/mm] durch [mm]||A|| \equiv sup_{x \in \IR^n:||x|| = 1}||Ax|| = sup_{x \in \IR^n:x \ne 0} \bruch{||Ax||}{||x||}[/mm].
>
>
> a) Zeige, dass [mm]||A||[/mm] wohldefiniert ist, also eine
> nichtnegative reelle Zahl ergibt.
die nicht-negativität folgt direkt daraus, dass die menge, über die das supremum gebildet wird, nicht leer ist und alle elemente (als quotient zweier nicht-neagtiver zahlen) nicht-negativ ist. das die menge nach oben beschränkt sind würde ich mit dem satz von weierstrass zeigen, da die einheitsphäre im [m] \mathbb{R}^n [/m] beschränkt und abgeschlossen und somit kompakt ist nimmt die stetige abbildung [m] x \mapsto Ax [/m] auf der einheitssphäre ein maximum an, ist also insbesondere darauf beschränkt.
> b) Zeige, dass tatsächlich eine Norm auf [mm]\IR
^{n \times n}[/mm] vorliegt.
das ist nur nachrechnen der normdefinition.
> C) Zeige, dass [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm] für alle [mm]x \in \IR^n[/mm].
das folgt direkt aus der definition ([m] \sup [/m]-bildung)
> d) Zeige, dass [mm]||AB|| \le ||A||*||B||[/mm] für alle [mm]A,B \in \IR^{n \times n}[/mm].
diese frage habe ich - in etwas allgemeinerer form - hier schon selbst einmal gestellt.
zu den anderen teilen fällt mir so ad hoc nichts ein.
> Hinweis: Finde einen Widerspruch mit Hilfe der bisher
> gefundenen Aussagen.
>
> Also wie gesagt habe ich leider keinerlei Ahnung, wie ich
> hier an die Aufgabe heran gehen soll. Außerdem weiß ich
> auch nicht, was die induzierte Matrixnorm ist.
das hast du ganz oben selber definiert. schau mal nach  .
grüße
andreas
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Hallo Joergi,
zu e)
Wie sehen die Vektoren mit ||x||=1 und was kann man machen um mit diesen Vektoren ||Ax|| zu vergrößern?
zu f) Hier sticht mir die Aufgabe d) ins Auge. Ist die Maximummatrixnorm multiplikativ?
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:02 Di 02.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich bearbeite die Aufgabe auch.
Mir ist aber noch etwas unklar bei der Definition der induzierten Norm.
Man bildet schliesslich das sup über die Menge der Vektoren aus dem n-dim Vektorraum der reelen Zahlen, deren Norm 1 ist.D.h., diese Menge ist doch eine Kugel mit Radius 1, also abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
Somit existiert das Supremum.(das dürfte doch Teil a) sein)
Die Einträge dieser Vektoren sind also betragsmässig kleiner als 1.Richtig?
Nach Def. der induzeirten Norm gilt:
||A|| = sup||Ax||
Bezieht sich das Supremum nur auf das x oder auf Ax?
Ax ist ja ein Vektor, die Norm dieses Vektors wiederum eine reelle Zahl und nun das Supremum davon?
Strange.
Ich brauche mal Eure Hilfe, denn ich schaffe es nicht Teil e zu zeigen!
Bisher habe ich es nur geschafft zu zeigen: ||A|| <= max...
Mehr gelingt mir da ber auch nicht!
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Hallo Wurzelpi,
> Man bildet schliesslich das sup über die Menge der Vektoren
> aus dem n-dim Vektorraum der reelen Zahlen, deren Norm 1
> ist.D.h., diese Menge ist doch eine Kugel mit Radius 1,
Zunächst es ist eine Shpäre also die Kugelhülle. Außerdem bin ich mir hier unsicher. Kann man die Stetigkeit von T(x)=Ax voraussetzen oder ist das nicht elementar das was gezeigt werden soll. Da bei linearen Abbildungen gilt stetig gdw. beschränkt.
> Bisher habe ich es nur geschafft zu zeigen: ||A|| <=
> max...
Toll. Nimm jetzt das argmax(also das i des Maximums) und folgenden Vektor [mm] \vektor{sign(a_{i1}) \\ ...\\ sign(a_{in})}[/mm] und überlege das dann Gleichheit gilt.
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Also ich habe dazu folgendes gefunden:
Im folgenden wird die Matrixnorm berechnet, die der Maximumnorm [mm]||x||_ \infty[/mm] zugeordnet ist. Für jede Komponente des Vektor Ax gilt die Abschätzung [mm]\begin{vmatrix} \summe_{i=1}^{n} a_{ki}x_i \end{vmatrix} \le \summe_{i=1}^{n} |a_{ki}||x_i| \le (\summe_{i=1}^{n} |a_{ki}|)max_i|x_i|[/mm].
Für die betragsmäßig größte Komopente, die die Norm [mm]||Ax||_\infty[/mm] bestimmt, ergibt sich damit: [mm]||Ax||_\infty := max_k\begin{vmatrix} \summe_{i=1}^{n} a_{ki}x_i \end{vmatrix} \le (max_k\summe_{i=1}^{n} |a_{ki}|)||x||_\infty[/mm].
Sei m die Nummer der (einer) Zeile mit maximaler Zeilenbetragssumme. Dazu wählt man einen Vektor x mit folgenden Komponenten
[mm]x_i := sgn(a_{mi}) = \left \{\begin{matrix}1, & \mbox{falls} a_{mi}>0 \\ 0, & \mbox{falls} a_{mi}=0 \\ -1, & \mbox{falls} a_{mi}<0\end{matrix}\right [/mm], i= 1(1)n.
Seine [mm]||.||_\infty[/mm]-Norm ist glich Eins, und die Ungleichung von oben bzgl.[mm]||Ax||_\infty[/mm] wird für diesen speziellen Vektor zu Gleichung: [mm]\bruch{||Ax||_\infty}{||x||_\infty}:= max_k|\summe_{i=1}^{n}a_{ki}sgn(a_{mi})| = \summe_{i=1}^{n}|a_{mi}|[/mm].
Folglich ist die maximale Zeilensumme eine der Unendlichnorm zugeordnete Matrixnorm.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Di 02.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Nochmals vielen Dank an euch beide ihr habt mir sehr weitergeholfen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Also danke
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